الجمعة، 30 أكتوبر 2009

مقاييس النزعة المركزية - محاضرة 2

بسم الله الرحمن الرحيم

الهدف الاساسى من الطرق الإحصائية المختلفة هو وصف وشرح سلوك المتغيرات التي تعبر عن الظواهر المختلفة والخطوة الأولى التي تلي جمع البيانات ومراجعتها ثم تلخيصها فى شكل جداول أو رسوم هي استنتاج بعض الحقائق عن طبيعة البيانات عن طريق تلخيص البيانات بصورة اكتر من جداول وهى رقم واحد يعبر عنها ,لذلك يلجأ الباحث بحساب المتوسطات بانوعها لتوضيح بعض الخصائص الهامة للبيانات الإحصائية وهى أسلوب شائع بين الناس وينظر إليها دائما بأنها قيم تعبر عن سلوك الظواهر المختلفة,هذه المقاييس يعبر عنها بمقاييس النزعة المركزي(Measures Of Central Tendency) وسميت هذه المقاييس بهذا الاسم لان البيانات تميل للتراكم حول قيمة المقياس .
ليكون مقياس النزعة المركزية سليما وممثل للظاهرة تمثيل سليم لا بد أن تتوفر فيه الخصائص التالية :
1-أن تكون قيمة المقياس محدده لا تحتمل التأويل ولا يختلف أتنين فى حسابها .
2-أن يعتمد فى حسابه على جميع مفردات العينة .
3-أن لا تتأثر قيمته باختيار العينة.
4- أن تكون خصائص المقياس محدده وملموسة تجعل من السهل تعريفه وفهمه دون الحاجة الى أساس رياضي كبير .

مقاييس النزعة المركزي هي :
1- الوسط الحسابي(Arithmetic Mean)
يعتبر الوسط الحسابي من أكثر مقاييس النزعة المركزية شيوعا واستخداماً,والوسط الحسابي يرمز له ب فى المجتمع و فى العينة ويعرف وفق الصيغة التالية:

حيث تمثل n عدد المشاهدات .
خواص الوسط الحسابي:
1- سهولة حسابه وفهمه .
2- تدخل جميع القيم فى حسابه .
3- مجموع انحرافات القيم عن وسطها الحسابي يساوى صفر.

عيوب الوسط الحسابي:
1- يتأثر بالقيم المتطرفة والشاذة .
2- يتعذر حسابه في الجداول التكرارية المفتوحة.
3- لا يصلح في حالة المتغيرات الاسمية .

مثال 1:
أوجد الوسط الحسابى للمشاهدات التالية:
21,13,11,5,7,3 .

مثال 2:
مجموعة من الطلاب جلسوا لامتحان مادة اللغة الانجليزية وكان متوسط درجاتهم بعد الامتحان 84, وكان مجموع هذه الدرجات 420 كم عدد الطلاب الذين جلسوا للامتحان؟



حساب الوسط الحسابي من الجداول التكرارية :
ويحسب وفقاً للصيغة التالية :

حيث تمثل f تكرار الفئة I وx تمثل مركز الفئة وهو عبارة عن مجموع الحدين الأدنى والأعلى مقسوماً على 2.

مثال 4:
البيانات التالية تمثل درجات 50 طالب فى مادة ما , من الجدول أدناه اوجد الوسط الحسابى :
c f x xf
20-40 12 30 360
40-60 20 50 1000
60-80 8 70 560
80-100 10 90 900

50 2820
خطوات الحل:
1- ننشئ صف جديد (x) نوجد فيه مراكز الفئات .
2- نضرب مركز كل فئة فى التكرار المقابل فى صف جديد xi fi ونوجد موجوع القيم الناتجة من الصف الجديد .
3- نقسم الخطوة 2 على مجموع التكرارات .



مثال 5:
اثبت أن :

Class work:


اذا كانت لدينا القيم التالية :
20,27,15,21,17
أثبت أن مجموع انحرافات القيم من وسطها الحسابي يساوى صفر.
Home work:

أوجد الوسط الحسابي للبيانات المبوبة بالجدول أدناه .
الفئات (c) 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45

التكرارات (f) 7 13 21 6 3 50

مقرر مبادئ الإحصاء - المحاضرة (1) - الجداول التكرارية





الجداول التكرارية frequency table




تعتبر الجداول التكرارية من أكثر أنواع الجداول استخداما في التحليل الاحصائى حيث يعمل على تبسيط البيانات في ابسط صورة ممكنة بطريقة مرتبه منطقيا تسهل على القارئ التعرف على خواصها كما يعطى صورة مختصرة لتوزيع البيانات اذ يتم تحديد عدد مرات ظهور كل قيمة في المتغير وهو ما يعرف بالتكرار المطلق absolute frequency ويرمز له بالرمز f ,ثم تدون كل قيمة وأمامها عدد مرات تكرارها في جدول وهو ما يسمى بالجدول التكراري اى إن (الجدول التكراري هو عبارة عن جدول يوضح توزيع البيانات الماخوزة لمتغير ما حسب مرات ظهورها أو تكرارها ) .
أما إذا كان حجم العينة كبير عندها تقسم البيانات الى مجموعات (فئات ) متجانسة تعرف ب classes وبذلك نضحي ببعض الدقة وذلك في سبيل تسهيل العمل وتوفير الوقت والجهد وهو ما يعرف بالجدول التكراري الفئوي ويتم حسابه بإتباع الخطوات التالية:
1- حساب المدى : وهو عبارة عن الفرق بين اكبر مفردة في البيانات وأقل مفردة فيها
المدى =اكبر مفردة – اقل مفردة
2- تحديد عدد الفئات : ويتم تحديد عدد الفئات حسب حجم البيانات ويفصل ألا يكون عدد الفئات صغير وذلك لأنه كلما قل عدد الفئات كلما فقد الباحث عدد اكبر من التفاصيل , كما يفضل ألا يكون كبير وذلك لأنه كلما زاد عدد الفئات كلما فقد الجدول التكراري أهميته في تبسيط البيانات .
3- تحديد طول الفئة: ويحدد طول الفئة على حسب قيمتي المدى وعدد الفئات فطول المدى يحسب بحاصل قسمة المدى على عدد الفئات ويفضل أن يكون خالي من الكسور لتسهيل العمليات الحسابية.
طول الفئة =المدى\ عدد الفئات
4- نحدد الحد الأدنى للفئة الأولى وهو عبارة عن اصغر قيمة مشاهدة للبيانات.
5- تم الحد الأعلى للفئة الأولى حيث:
الحد الأعلى =الحد الأدنى + طول الفئة
6- الحد الأدنى للفئة اللاحقة (الثانية) = الحد الأعلى للفئة السابقة (الأولى).



ملحقات الجدول التكرارى الفئوي:
*مركز الفئة :
مركز الفئة =(الحد الأعلى للفئة +الحد الأدنى للفئة )\2
مركز الفئة اللاحقة =مركز الفئة السابقة+طول الفئة

*التكرار النسبي :
التكرار النسبي =تكرار الفئة \مجموع التكرارات

*التكرار المئوي :
التكرار المئوي % =(التكرار النسبي*100)%

مثال 1:( لبيانات وصفية)
الجدول التالي يمثل الدرجات العلمية لعينة مكونة من 35 موظف في جامعة العلوم والتقانة لخص هذه البيانات في جدول تكراري.



الحل:



مثال 2: (فى حالة مدى البيانات صغير)
الجدول التالى يمثل عدد مرات الغياب لعدد 20 موظف فى شهر ما ملخصة فى الجدول التالى :

المطلوب : كون جدول تكراري للبيانات أعلاه .
الحل:



مثال 3:
البيانات التالية تمثل أجور 20 عامل فى إحدى الشركات كلاتى :
28-37-32-27-26-41-39-43-37-41-47-45-53-29-57-45-42-52-51-61
كون جدول تكراري لتبويب بيانات العمال مبيناً فيه كل من مراكز الفئات ,التكرار النسبي والتكرار المئوي.
الحل:
نلاحظ ان مدى البيات هو 61-26=35 وهو كبير عليه نلجا لتكوين فئات ونتبع الخطوات التالية:
المدى =35
عدد الفئات =5(اختيارى)
الفئات التكرار(f) مركز الفئة التكرار النسبى التكرار المئوي
26-33 5 30 5\20
33-40 3 37 3\20
40-47 7 44 7\20
47-54 3 51 3\20
54-61 2 58 2\20
المجموع 20 1
طول الفئة= 35\5=7








التوزيع التكراري المتجمع :cumulative frequency distribution
ويستخدم التكرار المتجمع عندما يراد معرفة عدد المفردات التي تساوى أو تزيد عن قيمة معينة او عدد المفردات التي تساوى او تقل عن قيمة معينة ,اى أن التكرار المتجمع يبين التكرارات المتجمعة لاكثر من فئة وهو نوعان :
1- التكرار المتجمع الصاعد (f<) وهو عبارة عن عدد المفردات التى تساوى او تقل عن الحد الأعلى لفئة ما ويتم حسابه كلاتى : - ننشئ عمود يحتوى على نهاية الفئات مرفقة بكلمة أقل من -التكرار المتجمع الصاعد للفئة الاولى=تكرار الفئة الاولى -التكرار المتجمع للصاعد للفئة الثانية = تكرار الفئة المقابلة +التكرار المتجمع الصاعد للفئة السابقة وهكذا إلي أن نصل الى - التكرار المتجمع للصاعد للفئة الاخيره= تكرار الفئة المقابلة +التكرار المتجمع الصاعد للفئة السابقة - نلاحظ أن التكرار المتجمع الصاعد للفئة الاخيره=مجموع التكرارات الكلى 2- التكرار المتجمع الهابط (f>)
وهو عبارة عن عدد المفردات التى تساوى او تزيد عن الحد الأدنى لفئة ما ويتم حسابه كلاتى :
- ننشئ عمود يحتوى على بدايات الفئات مرفقة بكلمة اكبر من
-التكرار المتجمع الهابط للفئة الاولى=مجموع التكرارات الكلية
-التكرار المتجمع الهابط للفئة الثانية = التكرار المتجمع الهابط للفئة السابقة –تكرار الفئة المقابلة
وهكذا إلي أن نصل الى التكرار المتجمع الهابط للفئة الاخيره وتحب كالاتى:
- التكرار المتجمع الهابط للفئة الاخيره =التكرار المتجمع الهابط للفئة السابقة –تكرار الفئة المقابلة

مثال:
من المثال 3 أجب على الاتى :
1-اوجد التكرار المتجمع الصاعد , والتكرار المتجمع الهابط .
2- كم عدد العمال الذين تقل اجورهم عن 47 .
3-كم عدد العمال الذين تزيد اجورهم عن 54 .
4- كم عدد العمال الذين تزيد مرتباتهم عن 50 .

الحل:
الفئات التكرار(f) F<>
26-33 5 5 20
33-40 3 8 15
40-47 7 15 12
47-54 3 18 5
54-61 2 20 2
المجموع 20










3- عدد العمال الذين تقل اجورهم عن 47 ؟ 15 عامل .
4- عدد العمال الذين تزيد اجورهم عن 54 ؟عاملين
5- عدد العمال الذين تقل اجورهم عن 50 ؟
نقوم بعملية تناسب بين التكرارات وطول الفئة وذلك باعتبار وجود فئة حدها الاعلى 50 وهى الفئة 47-53 وتتم عملية التناسب كلاتى :

طول الفئة التكرارات
7 18
3 x
نضرب ضرب عكسى :
7x=54 x=54\7=7.7=8

تمرين:
من الجدول التالى :

1- أوجد مدى البيانات .
2- عدد المفردات التى تقل عن 80 .
3- عدد المفردات التى تزيد عن 100.
4- عدد المفردات التى تقل عن 55.
5- نسبة المفردات التى تقل عن 55.
6- نسبة المفردات التى تتراوح بين 55-80 .